Você pode criar um script com o Tampermonkey para executar essa tarefa. Aqui está um exemplo de como fazer isso usando JavaScript e jQuery:

Instale o Tampermonkey como uma extensão do seu navegador.
Abra o Tampermonkey e clique em "Adicionar Novo Script".
Copie e cole o seguinte código:
// ==UserScript==
// @name AutoCliqueImagem
// @namespace http://tampermonkey.net/
// @version 0.1
// @description Auto claque em uma imagem em um site e atualize a página
// @author Seu Nome
// @match *://www.exemplo.com/*
// @grant none
// ==/UserScript==

// Substitua "exemplo.com" pelo site real em que você deseja executar o script
// Substitua "imagem.png" pelo nome real do arquivo da imagem que você possui

var imagemAlvo = "imagem.png";
var linkAlvo = "https://www.exemplo.com/pagina-inicial";

// Verifica se a imagem está presente na página
function verificarImagem() {
  var imagemEncontrada = false;

  $("img").each(function() {
    if ($(this).attr("src") === imagemAlvo) {
      imagemEncontrada = true;

      // Se a imagem for encontrada, clique nela
      $(this).click();
      return false;
    }
  });

  return imagemEncontrada;
}

// Atualiza a página se a imagem alvo não for encontrada
function atualizarPagina() {
  if (!verificarImagem()) {
    window.location.href = linkAlvo;
  }
}

// Executa o script
atualizarPagina();

// Repete o script a cada 5 segundos
setInterval(atualizarPagina, 5000);
Salve o script clicando em "Arquivo" e depois em "Salvar".
Esse script procura por uma imagem específica na página e clica nela caso seja encontrada. Se a imagem não for encontrada, a página é atualizada para o link inicial especificado. Esse processo é repetido a cada 5 segundos. Você pode ajustar o intervalo de tempo alterando o valor do argumento do setInterval para o número de milissegundos desejado.

Lembre-se de substituir "www.exemplo.com" pelo link do site onde você deseja executar o script e "imagem.png" pelo nome da imagem que você possui.